Soit \(f:U\to{\Bbb R}\) une fonction de classe \(\mathscr C^1\) sur un ouvert convexe \(U\subset{\Bbb R}^2\) muni de la norme euclidienne
On suppose qu'il existe \(k\gt 0\) tel que \(\forall c,\lVert\operatorname{grad} f(c)\rVert\leqslant k\)
Montrer que $$\forall a,b\in U,\qquad\lvert f(a)-f(b)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert$$ (inégalité des accroissements finis)

Définition d'une fonction intéressante
On cherche \(g\) fonction d'une variable telle que \(g(0)=f(a)\) et \(g(1)=f(b)\)
On voudrait à la fin avoir $$\lvert g(1)-g(0)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert$$ soit $$g:\begin{align}{\Bbb R}&\longrightarrow{\Bbb R}\\ t&\longmapsto f(a+t(b-a))\end{align}$$ \(g\) est de classe \(\mathscr C^1\) sur \([0,1]\) car \(f\) est de classe \(\mathscr C^1\) sur \(U\) car \(\theta:t\mapsto a+t(b-a)\) est de classe \(\mathscr C^1\) et \(\theta([0,1])\) est inclus dans \(U\) car \(U\) est convexe

Dérivée de cette fonction \(\to\) on tombe sur le gradient
De plus, \(\forall t\in[0,1]\), $$\begin{align} g^\prime(t)&=(b_1-a_1)\frac{\partial f}{\partial x}(a+t(b-a))+(b_2-a_2)\frac{\partial f}{\partial y}(a+t(b-a))\\ &=\langle\operatorname{grad} f(a+t(b-a)),b-a\rangle\end{align}$$ où \(a=(a_1,a_2)\) et \(b=(b_1,b_2)\)

Inégalité de Cauchy-Schwarz
L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne : $$\begin{align}\lvert g^\prime(t)\rvert&\leqslant\lVert\operatorname{grad} f(a+t(b-a))\rVert_2\lVert b-a\rVert_2\\ &\leqslant k\lVert b-a\rVert_2\end{align}$$

L'inégalité des accroissements finis en une variable donne : $$\lvert g(1)-g(0)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert_2(1-0)$$ donc $$\lvert f(b)-f(a)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert_2$$

(Inégalité de Cauchy-Schwarz - Inégalité de Schwarz, Inégalité des accroissements finis (Une variable))